Ny formel för matematikens verktyg
Jimmy Johanssons doktorsavhandling rör sig i gränslandet mellan komplex analys och algebraisk geometri, och ger en ny konkret formel för en isomorfi mellan två olika representationer av Extgrupper.
En stor del av forskningen inom algebraisk geometri går ut på att förstå strukturen av och klassificera olika geometriska rum, så som kurvor och ytor. För att kunna göra detta använder sig matematiker av olika verktyg, och ett sådant verktyg kallas Extfunktorer. Det finns en abstrakt definition för dessa som lämpar sig bra för teoretiska resonemang, men inte om man konkret vill få grepp om hur de ser ut – då får man använda sig av alternativa beskrivningar.
Verktyg från komplex analys används för algebraisk geometri
En typ av Extfunktorer kallas Extgrupper, och ett sätt att beskriva dem är med hjälp av så kallade vridna upplösningar. En annan beskrivning ges i termer av strömmar, ett begrepp från komplex analys. De två beskrivningarna kan ses som två olika sidor av samma mynt. Man säger att de är isomorfa, vilket i matematisk mening betyder att de är väsentligen samma. Huvudresultatet i Jimmys avhandling är en explicit formel för hur man går mellan de två beskrivningarna, som Jimmy konstruerat tillsammans med sin biträdande handledare Rickard Lärkäng (se bilden ovan). Formeln involverar en typ av residyströmmar som generaliserar tidigare forskning gjord av Elizabeth Wulcan och Mats Andersson.
– Det är som sagt två olika områden som möts, där komplexanalytiker inte alltid är så bekväma med Extfunktorer medan de som studerar algebraisk geometri inte så ofta använder sig av residyströmmar. Jag tycker det är intressant att röra sig tvärs över geometri, algebra och analys. I avhandlingens första artikel har jag ett mer konkret problem som rör sig om polynominterpolation, där man vill förbinda punkter i rummet med kurvor av en viss grad. Jag använde mig av residyströmmar för att hitta ett villkor för när det finns en polynominterpolant, alltså en kurva som går genom alla punkterna. Problemet hänger ihop med en viss typ av Extfunktorer, och jag började fundera på om man kunde representera Extgrupperna med residyströmmar.
Matematiken intressantare allt eftersom
Jimmy var egentligen inte så intresserad av matematik på gymnasiet, utan var mer inne på datorer och programmering. Han började ändå på Teknisk fysik på Chalmers, eftersom han gillade problemlösning, och ju mer matematik han läste desto intressantare blev det. Så småningom blev det geometri han riktade in sig mot, och han sökte och fick en öppen doktorandtjänst.
Doktorandtiden tycker Jimmy på det stora hela har varit bra, särskilt att institutionen är så bred så att man kan få massor av kunskap från många olika håll av trevliga kollegor. Sedan har det som för de flesta doktorander också funnits jobbiga perioder när han tyckt att han suttit fast och inte vetat hur han ska ta sig framåt. Undervisningen har Jimmy funnit utmanande men kul för det allra mesta. Det har funkat bra digitalt, men är betydligt roligare på plats.
– Nu kommer jag att gå tillbaka till mina programmeringsrötter och börja jobba som konsult. Det hade varit kul att fortsätta med matematiken – det hände mycket under fjärde året som öppnade upp nya områden, jag har en del idéer jag skulle vilja följa upp som inte finns med i avhandlingen. Men det är hård konkurrens om postdoktorsplatserna och jag är inte så sugen på att flytta långt. Jag fick ett jobberbjudande från ett konsultbolag, och det kan också vara skönt att göra något annat efter många års studier.
Jimmy Johansson disputerar i matematik med avhandlingen Global residue currents and the Ext functors, fredag den 30 september kl 13.15 i sal Euler, Skeppsgränd 3. Handledare är Elizabeth Wulcan, biträdande handledare Rickard Lärkäng och Mats Andersson.