Att garantera fysikaliskt meningsfulla resultat
Johan Ulanders doktorsavhandling utvecklar och analyserar nya numeriska metoder som garanterar att resultat av datorsimuleringar är fysikaliskt meningsfulla.
Matematiska modeller finns överallt och många simulerar system som har inneboende fysikaliska gränser. Till exempel är temperaturmodeller bara meningsfulla med värden över den absoluta nollpunkten -273,15 °C, och smittspridningsmodeller är bara meningsfulla med värden mellan 0 (där ingen är smittad) och 1 (där alla är smittade). Många simuleringar av deterministiska modeller är designade för att ha med dessa begränsningar. Det är i allmänhet svårare att bygga in sådana begränsningar i simuleringar av modeller med slumpmässighet i dynamiken, så kallade stokastiska modeller.
– Det som då händer i dessa simuleringar är att begränsningarna inte alltid hänger med, vilket kan leda till resultat som inte är fysikaliskt möjliga. Att eliminera sådana diskrepanser genom att bygga in begränsningar från början har blivit ett aktivt forskningsområde med syfte att garantera att resultatet som kommer ut är fysikaliskt möjligt. Detta blir allt viktigare när allt fler autonoma system och oövervakade datadrivna metoder används.
Splittingmetoder, Lampertitransformationer och reflekterade SDE
Johans arbete har bestått i att ta fram nya domänbevarande lösningsmetoder för stokastiska differentialekvationer (SDE) och stokastiska partiella differentialekvationer (SPDE) med fysikaliska gränser, och att bevisa att dessa metoder ger bra simuleringar med hög noggrannhet. De tre metoder som främst har använts har varit splittingmetoder, Lampertitransformationer och reflekterade SDE.
Splittingmetoder bygger på att ett komplicerat problem delas upp i delproblem som är enklare att lösa separat. Lampertitransformationen transformerar ett problem till ett annat problem som är konstruerad på ett visst sätt så att det är lättare att bevara den korrekta domänen, när det sedan transformeras tillbaka håller sig lösningen inom tillåtet område. Reflekterade SDE:er är en annan klass av liknande problem där domänen är inbyggd i problemformuleringen från början. Johan jämför reflekterade SDE:er med att spela ping pong, där man gång på gång slår till bollen precis innan den åker över kanten. Hans idé är att introducera artificiella barriärer för att skriva om en SDE till en reflekterande SDE.
Ett arbete man kan styra mycket själv
Johan har alltid varit intresserad av matematik, men att doktorera var inget som han bestämt från början. Han gick teknisk matematik på Chalmers och läste separat en master i matematik på ETH i Schweiz. När han kom tillbaka därifrån hade han en termin kvar på teknisk matematik, och såg då en doktorandtjänst utlyst med en ovanlig starttid efter nyår. Eftersom det var ett område som Johan tyckte var intressant och det dessutom passade så bra i tid sökte han tjänsten, och fick den.
– Jag hade inte en klar bild över hur det skulle vara i praktiken att doktorera, så jag kan inte säga om den uppfylldes eller inte. Det finns en frihet i att vara doktorand, med stora möjligheter i att styra hur det passar en själv att arbeta och att anpassa schemat efter annat i livet. Jag har till exempel läst många artiklar under resor eller samtidigt som jag tränat. Det är ju kvalitet över kvantitet, där slutresultatet är det viktiga. Undervisningen har också varit kul, jag hade inte så mycket erfarenhet av det innan så jag har fått lära mig hur man lär ut.
I framtiden kommer Johan förmodligen att arbeta med liknande saker som han doktorerat på, men med mer fokus på att integrera verktygen i verkliga/praktiska system.
Johan Ulander disputerar i tillämpad matematik och statistik med avhandlingen Boundary-preserving numerical schemes for stochastic ordinary and partial differential equations fredag den 28 november kl 9.00 i sal Euler, Skeppsgränd 3. Handledare är David Cohen, biträdande handledare Annika Lang och Lluís Quer-Sardanyons, examinator Klas Modin.