Smittspridning och skogsbränder kan studeras med statistiska modeller

I perkolationsteori studerar man olika sorters fenomen som uppstår i slumpmässiga rumsliga strukturer. Exempel på sådana fenomen kan vara hur många träd som brinner ner i en skogsbrand eller hur omfattande en smittspridning blir i en population.

– Strukturerna man studerar i dessa två fall är skogen respektive populationen. Fenomenen är antalet träd som brinner ner samt själva omfattningen av smittspridningen. Men jag vill betona att det rör sig om väldigt abstrakta modeller, och att direkta tillämpningar av mina fynd på exempelvis covid-19 inte är något vi realistiskt kan hoppas på, säger Olof Elias, avhandlingens författare.

Umgängesfrekvensen kan visualiseras i bollmönster

Beroende på hur själva strukturen ser ut så kan själva fenomenet manifestera sig på olika sätt. Så kan till exempel tre olika populationer visualiseras med tre bilder med färgade bollar (se bild överst.)

Varje boll representerar en individ och om två bollar överlappar så tolkas detta som att de två personerna tillhör samma umgängeskrets. De olika färgerna som uppstår representerar de olika umgängeskretsarna i populationen. Ju tätare mönster av bollar på bilden ju mer interaktion mellan människor.

– Om nu en slumpmässig individ blir smittad av någon sjukdom så är det kanske inte så svårt att föreställa sig att omfattningen av smittspridningen kommer att se olika ut i de tre bilderna. I den med få överlappande bollar så kommer väldigt få smittas medan i bilden med flest överlappade bollar så kommer nästan alla att smittas. Detta är ett exempel på en fasövergång och är givetvis en väldigt förenklad bild av verkligheten.

Fyra modeller som ger olika resultat

Fokus i avhandlingen ligger inte i att utveckla modeller som beskriven verkligheten, utan i att utveckla metoder som är tillräckligt robusta och generella för att kunna appliceras på mer komplicerade perkolationsmodeller.

I avhandlingen har fyra olika perkolationsmodeller med komplicerade rumsliga beroenden studerats.

– Det som särskiljer dessa perkolationsmodeller från de enklare modellerna på bilden är att objekten som genererar de slumpmässiga strukturerna är obegränsade.

I avhandlingens två första delarbeten beskrivs objekten med hjälp så kallade brownska rörelser (slumpvandringar) medan i de senare delarbetena beskrivs som objekt av cylindrar med obegränsad längd.

– I de två första fallen så uppvisar de mer komplicerade modellerna samma typ av beteende som de enklare modellerna, när man studerar en viss typ av fenomen, medan i de två senare fallen så visar det sig att modellerna skiljer sig åt.

Kontakt: Olof Elias, institutionen för matematiska vetenskaper, Göteborgs universitet, tel: +46317725316, e-post: olofel@chalmers.se

Handledare: Johan Tykesson
Titel: Geometrical and percolative properties of spatially correlated models
Länk till avhandlingen>>

Illustration av Olof Elias: Tre simuleringar av så kallade Poisson Boolean modellen med olika intensiteter.
Foto: Porträttbild Olof Elias, fotograf Anna Rosén.