Att analysera komplexa system utifrån ofullständiga data
Många processer kan inte mätas exakt, utan endast ofullständigt och med störningar. Det är viktigt att utveckla metoder för att hantera detta så att beslut fattas på så korrekta underlag som möjligt, något som Kasper Bågmark tagit sig an i sin doktorsavhandling.
Det finns många processer i verkligheten som man vill kunna förutsäga, och för att kunna fatta välgrundade beslut vill man även kunna bedöma osäkerheten i förutsägelser utifrån ofullständiga mätningar. Kasper studerar det så kallade filtreringsproblemet och ger ett exempel: vi har ett fartyg som rör sig enligt en viss dynamik som vi antar oss känna till. Rörelsen är delvis slumpartad, till exempel på grund av hårda vindar. Mätningarna av positionen kan störas av mätbrus, till exempel dimma. Vi vill skatta både positionen och hastigheten för att exempelvis säkerställa att det inte finns en överhängande risk för att fartyget råkar köra in i vatten med farliga rev. På något sätt måste man då hantera mätbruset för att få fram en skattning och en osäkerhetsanalys.
Den här problemformuleringen är essensen i filtreringsproblemet. Det finns kända metoder för detta som fungerar väl om dynamiken är linjär och om bruset i mätningarna är normalfördelat. Om så inte är fallet behöver man ta till approximationer för att göra bra skattningar. Kasper har studerat filtreringsproblemet när mätobjektet har många dimensioner, alltså många parametrar, och dynamiken är icke-linjär. Ett exempel på ett sådant högdimensionalitet problem är klimatmodellering, där man har väldigt många mätstationer som var för sig utgör en dimension.
Djupinlärningsmetoder för partiella differentialekvationer
I avhandlingen behandlas filtreringsproblemet genom kopplade partiella differentialekvationer (PDE), där den ena ekvationen är Fokker–Planck-ekvationen och den andra är Bayes formel. I bilden ovan ses överst det obetingade fallet utan mätningar, medan utfallet av den kopplade PDE:n med Bayes formel ses nederst. Fokker–Planck-ekvationen beskriver det deterministiska beteendet hos processens fördelning och är svår att lösa i höga dimensioner. Kasper har därför utvecklat olika djupinlärningsmetoder för PDE, anpassade till filtreringsproblemet.
– Jag har använt mig av två metoder: den ena består av att kombinera en splitting-approximation och Feynman–Kac-formeln, medan den andra använder sig av sannolikhetsrepresentation i form av en bakåt stokastisk differentialekvation. Resultatet är att man använda sig av dessa metoder som verktyg för högdimensionella problem med icke-linjär dynamik på ett sätt som tidigare inte varit möjligt. Förhoppningen är att de kan användas av forskare som arbetar närmare tillämpningsområdena än vad vi gör. Det finns dock mycket kvar att göra inom filtreringsproblemet.
Inspirerande föreläsare ledde vidare
Kasper gick kandidatprogrammet i matematik på Göteborgs universitet, och gjorde sin mastersutbildning på Chalmers. Tanken på att doktorera väcktes tidigt, det verkade intressant och han trivdes bra på institutionen. Ett par inspirerande föreläsare gav bra vägledning och engagerade sig och de tjänster han kom att söka hade samma inriktning mot numerisk analys och sannolikhetsteori som dessa föreläsare verkade inom. Tjänsten som han fick var knuten till ett nytt projekt som WASP-doktorand (Wallenberg AI, Autonomous Systems and Software Program).
– Doktorandtiden blev mycket bättre än vad jag vågat hoppas på, jag har aldrig träffat någon som haft lika roligt på jobbet som jag! Visst är det bitvis stressigt, men forskningsmässigt väldigt stimulerande med en bra social miljö.
Tjänsten började pandemiåret 2020 och till en början var det ganska tomt i lokalerna. Så småningom fylldes det på och nu tycker Kasper att institutionen har ett rikt socialt liv. Han har fått många vänner och nära kollegor, och har också engagerat sig i WASP-nätverket, med doktorander från flera svenska lärosäten, som betytt mycket för honom. Han tycker att han fortfarande lär sig mer om det akademiska livet vecka för vecka men kan ge några råd vidare till nya doktorander: att våga ställa ”dumma frågor” och be om hjälp, att sikta på högrankade tidskrifter från början, och vikten av att söka resestipendier.
Till hösten bär det av till Amsterdam, där Kasper fått postdoktorsstipendium vid Vrije Universiteit Amsterdam. Där ska han delvis jobba vidare med filtrering inom matematisk neurovetenskap. Men först väntar konferensen Statistical Methods for Dynamical Stochastic Models. Den hålls i Göteborg i juni och Kasper leder den lokala organisationskommittén.
Kasper Bågmark disputerar i matematik med avhandlingen Learning to Estimate: Bayesian Filtering with Deep Density Methods fredag den 22 maj kl 9.00 i sal Euler, Skeppsgränd 3. Handledare är Annika Lang, biträdande handledare Adam Andersson, Stig Larsson och Moritz Schauer, och examinator Anders Logg.