Nya perspektiv på klassiska matematiska problem

Algebraisk geometri handlar om att försöka förstå lösningar till polynomekvationer – hur många lösningar finns det, hur kan man hitta dem, och så vidare. Rolf ger ett enkelt exempel: om man har reella tal som lösningar i ekvationen x² + y² = 1 så bildar dessa en cirkel. Lösningarna bland de komplexa talen bildar en sfär efter att man lagt till en punkt i oändligheten. En matematiker vill förstå de här vackra geometrierna och de kan studeras på väldigt många olika sätt. Relevant för avhandlingen är man vill hitta de kanoniska, det vill säga de naturliga, metrikerna. En metrik är ett objekt vars syfte är att mäta avstånd. Valet av metrik ger olika vinklar och avstånd, och ger en algebraisk geometri mer struktur.

Men man kan också titta på andra lösningar till polynomekvationer, som rationella tal, och närmar sig då talteori eller aritmetisk geometri. Från matematikens absoluta barndom kommer ett klassiskt problem: kan man hitta rätvinkliga trianglar där alla sidor är heltal, finns det sådana lösningar och i så fall hur många? Ekvationen som dyker upp är den tidigare nämnda, x² + y² = 1. I det här exemplet finns det oändligt många lösningar, men för andra endast ändligt många, vad bestämmer det? Under 1900-talet började man alltmer att förstå att geometrin för de komplexa lösningarna ska kopplas ihop med egenskaper hos de rationella lösningarna.

Förståelse av Kähler–Einstein-metriker ur ett statistisk-mekaniskt perspektiv

Rolf har studerat Kähler–Einstein-metriker, som har en konstant krökning på ett visst sätt. Den vanliga, runda metriken på sfären är ett sådant exempel. I delar av avhandlingen har han studerat en variant på en koppling som förenar metriker och aritmetik och för samman dem i ett koncept som kallas höjd, inom ramen för området Arakelov-geometri. Höjden mäter aritmetisk komplexitet för aritmetiska objekt. När man gör detta så beror höjden alltid på någon typ av metrik och ett tema i avhandlingen är att använda de kanoniska Kähler–Einstein-metrikerna för att definiera höjder.

Bild

– I geometri söker man alltid efter naturliga eller kanoniska val men en av utmaningarna med kanoniska metriker är att de typiskt är väldigt icke-explicita, och om höjden definieras utifrån dem så blir även den hopplöst icke-explicit, så hur ska man studera detta? Då kan man utnyttja ett statistisk-mekaniskt perspektiv. Det här inspelet från fysik är ett stort bidrag till området som min handledare Robert Berman har utvecklat. 

Det statistisk-mekaniska systemet beskriver ett stort antal partiklar på den underliggande geometrin och är kanoniskt. När antalet partiklar närmar sig oändligheten framträder metriken. Så, man får precis den höjd som beror av den kanoniska metriken som en gräns av partitionsfunktionen, ett centralt begrepp inom statistisk mekanik. Poängen är att partitionsfunktionen på sätt och vis är mer explicit än den kanoniska höjden. 

Förutom att utforska den här samlingen av idéer från olika matematiska fält och hur de kan kopplas samman och användas för att studera varandra så har Rolf också tillämpat dem i olika områden, som att ta fram explicita höjdberäkningar på aritmetiska ytor, bland dem ett par Shimura-kurvor (se bilden). Andra tillämpningar ges för Coulomb-gaser i matematisk fysik, och även för funktional-olikheter. 

Samarbete nyckeln för att kunna röra sig över flera stora områden

På gymnasiet var Rolf mer intresserad av fysik än matematik, men då han inte var så förtjust i labbarbete valde han ändå kandidatprogrammet Teknisk matematik på Chalmers när det var dags att läsa vidare. Han fick upp ögonen för att doktorera när han i grundutbildningen läste en doktorandkurs om fraktaler. Examensarbetet skrevs med Robert Berman som handledare, och Rolf såg fram emot att få hålla på med matematisk fysik.

– Men jag trodde aldrig att jag skulle hålla på med något så abstrakt som höjder, jag var nästan i chock när Robert föreslog detta som doktorandprojekt! Jag kommer annars från ett ganska konkret håll med en bakgrund som ingenjör, även om jag hade börjat ta mig an det mer abstrakta. 

Rolf kom ändå att bli väldigt nöjd med sin doktorandtid. Kähler-geometri i sig har egenskaper att röra väldigt många områden, och när man så lägger till ytterligare två stora områden som Arakelov-geometri och statistisk mekanik så blir det naturligtvis ännu bredare och svårare att greppa, vilket varit både roligt och utmanande. Alla fem artiklar i Rolfs avhandling är samskrivna, vilket passat både honom och området. Den klassiska bilden av en doktorand inom abstrakt matematik, särskilt när man rör sig utanför Sverige, är att man jobbar mycket på egen hand, men Rolf har rest mycket och pratat väldigt mycket matematik med andra personer, vilket är det han tycker varit det allra roligaste med jobbet.

– Det är så mycket och så stora områden, det är svårt att ta in enbart genom att läsa kurser. Det har varit naturligt med mycket samarbeten eftersom man då kan komma in med lite olika vinklar, och så lär man sig om området under tiden som man forskar om det, vilket går mycket fortare.

Rolf uppskattar också att man kan doktorera i Sverige inom ramen för en vanlig arbetsvecka och även ha tid för annat. För honom handlar detta andra mycket om segling, då han har egen båt som han tävlar med och även renoverar andra båtar. Efter sommaren börjar han en postdoktorstjänst på Aarhus Universitet, finansierad av Wallenbergs matematikprogram. Där finns det många olika matematiska projekt som Rolf kan ta sig an – och han hoppas på att också kunna ta med sig båten.