Vidgat vetande kring operatoralgebror
Matematiken vidgar ständigt förståelsen av teoretiska strukturer. I Jan Gundelachs doktorsavhandling visas nya inbäddnings- och rigiditetsresultat inom fältet operatoralgebror.
Operatoralgebror är intressanta instrument för att undersöka dynamiska system med funktionalanalytiska verktyg. En operator är en linjär avbildning mellan två vektorrum, till exempel en matris, och en operatoralgebra är en samling av operatorer som verkar på samma rum. Därför kan man sammanfoga, addera, och skala upp och ner, precis som man gör med kvadratiska matriser i ändligdimensionella fall.
De klassiska operatoralgebrorna verkar på Hilbertrum, som är L2-rum och de mest symmetriska inom familjen av Lp-rum. Lp-operatoralgebror som verkar på sådana Lp-rum beskriver en ännu större familj av algebror. Forskningsområdet som jämför de klassiska operatoralgebrorna med fall där p inte är lika med 2 är relativt nytt, och intresset har hittills inte varit så stort, eftersom Hilbertrum har en mer omfattande teori. I Hilbertrum finns det sfäriska enhetsbollar och många möjligheter till formbevarande avbildningar. I ett Lp-rum där p inte är lika med 2 ser enhetsbollen däremot ut mer som en diamant, med betydligt mindre symmetrier.
Få valmöjligheter, fina inbäddningar
Detta påverkar också Lp-operatoralgebror, och det finns alltså inte alls lika många valmöjligheter för avbildningar mellan Lp-operatoralgebror som vad det finns för L2. I avhandlingens första artikel karakteriserar Jan inbäddningar mellan Lp-operatoralgebror som konstrueras av strukturer som kallas gruppoider. Man kan tänka sig en gruppoid som en samling av pilar som blir en schablon för motsvarande gruppoid Lp-operatoralgebror, säger Jan. Eftersom valmöjligheterna på algebranivå är få kan inbäddningarna uttryckas på ett fint sätt direkt på nivån av gruppoiderna. Jans verktyg är gruppoider vars pilar nästan aldrig är slingor och hans metoder beror av algebrans interna dynamik på diagonalen. Varje inbäddning måste nödvändigtvis bevara diagonalen och dess dynamiska position.
– Man kan jämföra detta rigiditetsfenomen med en IKEA-metafor. Tänk dig att du bygger ihop dels en låda, dels en större möbel efter en manual och försöker sätta in lådan i möbeln. Om man kastar bort manualen ska man genom att se på möbeln kunna skriva en ny manual, likadan som den ursprungliga, som listar alla möjligheter för att sätta in lådan i möbeln.
Jan är övertygad om att andra inbäddningar mellan gruppoid-Lp-algebror kan karakteriseras på liknande sätt, men då behövs andra verktyg än diagonalen. Liknande rigiditetsfenomen som i den första artikeln tillämpas i avhandlingens andra två artiklar, som behandlar en inbäddningsversion av Rubins sats och dualitetsresultat för Rokhlin-dimensionen av en partiell gruppverkning.
Det nordiska ljuset
Jan tog sin mastersexamen i Hilberts hemstad Göttingen. Hans handledare fick ett mejl från Eusebio Gardella som var på väg till en tjänst i Göteborg och tipsade sitt nätverk om att det fanns doktorandplatser att söka där. Jan sökte och påbörjade en doktorandtjänst inom ergodicitet, som han efter några månader bytte mot operatoralgebror med Eusebio som handledare.
– Jag trivdes riktigt bra under större delen av min tid som doktorand. Institutionen har varit en bra arbetsgivare med trevliga kollegor, och jag är väldigt tacksam både för mina doktorandår och för de vänner som jag hittade i Sverige. Göteborg är en fin stad och jag gillar vattnet och det vackra ljuset vid solnedgången. Men absolut bäst är de långa ljusa sommarkvällarna då man sitter utomhus till sent på kvällen!
Som tysk som kan tala engelska tycker Jan att det varit både lätt och svårt att lära sig svenska. Lätt för att det finns många likheter, men svårt om man inte själv är motiverad eftersom alla snabbt byter till engelska om det uppstår någon tvekan. Det är en välment vana, men Jan har lärt sig mest sig genom att be alla prata svenska med honom.
Nu söker Jan postdoktorstjänster runt om i Europa. Om det i stället blir arbete utanför den akademiska världen kommer han att återvända till Tyskland för att komma närmare familjen.
Jan Gundelach disputerar i matematik med avhandlingen Rigidity and embedding phenomena in operator algebras fredag den 12 juni kl 13.00 i sal Euler, Skeppsgränd 3. Handledare är Eusebio Gardella, biträdande handledare Michael Björklund, och examinator Lyudmila Turowska.