Ny matematik för divergenta integraler

Forskningen ligger inom komplex geometri och flervariabelanalys. Avhandlingen rymmer flera spår, som har vuxit fram ur olika samarbeten och idéer, men förenas av en grundläggande frågeställning: hur kan man ge mening åt divergenta integraler som definieras utifrån komplexgeometriska data? En central metod är regularisering, vilket innebär att man introducerar ett parameterberoende som på ett kontrollerat sätt ”fångar” divergensen.  Genom att regularisera de divergenta integralerna uppstår matematiska objekt som kallas Arkimediska zeta-funktioner.

Bild

– Att ge mening åt divergenta integraler har visat sig vara användbart både inom matematik och fysik, till exempel inom kvantfältteorin där de ofta uppkommer, och där man på ett systematiskt sätt kan extrahera fysikaliskt signifikant information från dem.

Den första halvan av avhandlingen fokuserar på att utveckla teori för regularisering av divergenta integraler. För den klass av integraler som Ludvig studerar behöver man välja en Hermitsk metrik på en vektorbunt för att definiera en regularisering. Ett av avhandlingens huvudresultat är en formel som beskriver hur, givet ett val av metrik, en naturligt definierad ändlig del av en divergent integral beror detta val. Ludvig utvecklar även verktyg som syftar till att beräkna sådana ändliga delar under vissa förenklade antaganden. 

Egenskaper hos partitionsfunktioner

I den senare delen av avhandlingen sätts de Arkimediska zeta-funktionerna in i större sammanhang med koppling till matematisk fysik, i synnerhet Coulomb-gaser och Kähler–Einstein-metriker. Här undersöker Ludvig partitionsfunktioner som är associerade till en viss typ av system av interagerande partiklar. Ett exempel är ett plasma bestående av positiva och negativa partiklar som lever på en sfär. Partitionsfunktionerna utgör exempel på Arkimediska zeta-funktioner med partikelsystemets temperatur som funktionsparameter. I två av artiklarna studerar Ludvig och hans medförfattare dessa funktioner och fastställer olika egenskaper hos dem.

Ludvig har inte alltid tänkt sig en framtid inom matematik. På gymnasiet gick han Hvitfeldtskas musiklinje med trumpet och piano som instrument, men framåt slutet insåg han att det nog ändå inte var något han kunde tänka sig som yrke. Matematik var det roligaste ämnet näst efter musiken, så det fick bli Tekniskt basår.

– Då insåg jag att fysik också är roligt – det är liksom ”matte in action” – och eftersom skolan gick bra tänkte jag att jag försöker läsa Teknisk fysik, det ska ju vara en bred linje så jag inte behöver välja riktning ännu på ett tag. Och det var så roligt att läsa matte och fysik så sedan ville jag fortsätta med det.

Examensarbetet blev upptakt till doktorandtjänst

Som en testballong kontaktade Ludvig tänkbara handledare inför examensarbetet, Håkan Samuelsson Kalm och Robert Berman, och det blev som en naturlig övergång till forskningen när han sedan fick en doktorandtjänst med samma handledare. Han hade inte läst så mycket matematik som en del andra doktorander på institutionen men hade å andra sidan med sig kunskaper inom fysiken som området gränsar till.

– Jag har haft en fantastisk tid här och trivts väldigt bra, främst på grund av människorna: mina handledare, forskningsgruppen och andra doktorander. Det har alltid funnits personer att rådfråga när man behövt det, till exempel mitt ständiga bollplank Rolf Andreasson som jag delat rum med. Vi planerar att fortsätta arbeta tillsammans i framtiden.

Efter disputation fortsätter Ludvig till Madrid där han kan fortsätta att göra det som han tycker är allra roligast – att ”klura på matteproblem”. Han har fått en postdoktorstjänst stöttad av Wallenbergs matematikprogram hos professor José Ignacio Burgos Gil vid El Instituto de Ciencias Matemáticas. Det är ett välkänt namn inom området och ett naturligt val för den forskning som Ludvig vill ägna sig åt, och efter att ha träffat sin blivande mentor har Ludvig höga förväntningar även om sin postdoktorstid.