Anslag till strängteori, geometriska objekt och Langlandsprogrammet

Att finna rätt mått för abstrakta geometriska objekt

Bild

Rolf Andreasson kommer att ha en postdoktoral tjänst hos professor Cristiano Spotti vid Århus universitet, Danmark. I projektet undersöks geometriska motsvarigheter till lösningar av algebraiska ekvationer genom en av deras metriker, Weil–Petersson-metriken.

– Jag kom i kontakt med gruppen i Århus och Cristiano genom den seminarieserie vi har haft mellan universiteten de senaste åren. Expertisen där både överlappar och kompletterar mina forskningsintressen på ett bra sätt. Det betyder otroligt mycket att få möjlighet att jobba där och jag ser mycket fram emot att komma dit.

Algebraisk geometri är studiet av varieteter, geometriska motsvarigheter till lösningar av algebraiska ekvationer. En enkel varietet är en cirkel med radie r, given av lösningarna till ekvationen x²+y²=r². Varieteter kan dock vara betydligt mer abstrakta geometriska objekt, och ett sätt att organisera dem är att tilldela varje objekt en punkt i ett modulirum, som parameteriserar alla objekt av samma typ och där liknande objekt hamnar nära varandra.

Ett verktyg för att undersöka varieteter är att studera deras metriker – sätt att mäta avstånd i rummet. En välkänd metrik är Kähler–Einstein-metriken, som också kan användas för att definiera en naturlig metrik på modulirummet: Weil–Petersson-metriken. I de flesta fall kan dock varken Kähler–Einstein eller Weil–Petersson-metriken beskrivas explicit.

I projektet utvecklas en metod för att konstruera en explicit approximation av Weil–Petersson-metriken, som är inspirerad av en tidigare approximation av Kähler–Einstein-metriken. Metoden har sitt ursprung i statistisk mekanik, studiet av stora system av interagerande partiklar. När antalet partiklar växer framträder Kähler–Einstein-metriken ur systemets kollektiva beteende.

Syftet är att visa hur även Weil–Petersson-metriken kan uppstå ur samma partikelsystem. En central roll spelas av partitionsfunktionen, ett grundläggande begrepp i statistisk mekanik. Den ger upphov till en ny och mer explicit metrik på modulirummet. När antalet partiklar växer finns skäl att tro att denna metrik approximerar Weil–Petersson-metriken och därmed ger ett nytt sätt att förstå den.

Nya bidrag till Langlandsprogrammet

Bild

Douglas Molin kommer att ha en postdoktoral tjänst hos professor James Newton vid Oxford University, Storbritannien. Den planerade forskningen utgör en del av ett av matematikens mest omfattande och inflytelserika projekt, Langlandsprogrammet.

– Det ska naturligtvis bli väldigt roligt att spendera två år i Oxford. Dessutom är det ju kul att vi är flera från Göteborg som fått stipendium.

Den kanadensiske matematikern Robert Langlands formulerade i ett brev 1967 en väv av djupa och långtgående förmodanden. Dessa knöt samman till synes skilda områden inom matematiken, såsom algebra, geometri, harmonisk analys och talteori, och har sedan dess kallats Langlandsprogrammet.

Ett avgörande genombrott inom detta program kom i samband med beviset av en berömd förmodan från 1600-talet, formulerad av den franske matematikern Pierre de Fermat. Han hävdade att ekvationen xⁿ+yⁿ=zⁿsaknar positiva heltalslösningar för n större än 2, utan att ge något bevis. Det dröjde över 350 år innan Andrew Wiles, med avgörande bidrag av sin tidigare doktorand Richard Taylor, lyckades bevisa Fermats sats. Beviset byggde på en djup koppling mellan elliptiska kurvor inom algebraisk geometri och modulära former inom komplex analys – två objekt vars symmetrier spelar en central roll för beviset.

En naturlig fortsättning är att försöka förena dessa två typer av symmetrier för mer allmänna objekt inom geometri och analys. På den ena sidan studeras aritmetiska symmetrier genom så kallade Galoisrepresentationer, algebraiska strukturer uppkallade efter den franske 1800-talsmatematikern Évariste Galois. På den andra sidan generaliseras modulära former till automorfa former – analytiska funktioner med intrikata, nästan kalejdoskopiska symmetriegenskaper. 

Många matematiker har arbetat med dessa generaliseringar av Wiles resultat. Forskningen i det planerade projektet behandlar mer svårbegripliga generaliseringar, där metoder från homotopiteori har visat sig vara användbara. Målet är att, i Langlandsprogrammets anda, etablera nya samband i situationer som ligger långt bortom den klassiska kopplingen mellan elliptiska kurvor och modulära former.

Modeller för strängteorins dolda dimensioner

Bild

Ludvig Svensson kommer att ha en postdoktoral tjänst hos professor José Ignacio Burgos Gil vid El Instituto de Ciencias Matemáticas, Madrid, Spanien. Projektets forskningsområde är komplex analys och dess skärningspunkter med matematisk fysik. Av särskilt intresse är speciella geometriska objekt, kallade Calabi–Yau-mångfalder, som utgör lösningar till fältekvationerna i Einsteins allmänna relativitetsteori.

– Jag är mycket glad och tacksam och ser verkligen fram emot att bli en del av forskningsgruppen vid ICMAT. Möjligheten att arbeta i en inspirerande miljö med stark kompetens inom matematisk fysik och aritmetisk geometri skapar goda förutsättningar för synergier med min egen forskning.

Calabi–Yau-mångfalder fick stor uppmärksamhet genom sin roll i den moderna fysikens strängteori, där kvantfysiken ämnas förenas med den allmänna relativitetsteorin. Strängteorin förutsäger dock en tiodimensionell rumtid, medan vår värld i allt väsentligt är fyrdimensionell, med tre rumsdimensioner och en tidsdimension. Strängteorins återstående sex dimensioner antas därför såpass små att de är dolda för oss. Calabi–Yau-mångfalder beskriver geometrin hos dessa extra dimensioner. Mångfalderna uppvisar dessutom spegelsymmetri: varje mångfald har en spegelpartner, och även om de två mångfalderna i paret är geometriskt olika ger de upphov till samma fysik.

Av särskilt intresse inom spegelsymmetrin är situationer där geometrin hos Calabi–Yau-mångfalder degenererar. Detta kan undersökas med hjälp av en typ av matematiska objekt som kallas periodintegraler. De periodintegraler som är associerade till en Calabi–Yau-mångfald innehåller riklig information om mångfaldens geometri och aritmetik. 

När Calabi–Yau-geometrin degenererar blir periodintegralerna ofta divergenta, det vill säga oändliga. Trots detta är det möjligt att extrahera en ändlig del av periodintegralerna. Projektet syftar till att undersöka dessa ändliga delar av divergenta Calabi–Yau-periodintegraler och avgöra i vilken utsträckning de fortfarande bär på intressant aritmetisk och/eller geometrisk information, jämförbar med den hos deras konvergenta motsvarigheter.